복소수 체계 (ch12) : 연산시 주의사항

1. 허수단위 i

 

실수 범위에서는 제곱하여 음수를 구할 수 없다.

그래서 수의 확장이 필요한데, 그걸 복소수라 하며 복소수 중 허수의 단위는 \( i \)다.

 

\( i^2 = -1\) 로 정의한다.

 

2. 켤레복소수

 

복소수  \( z= a +bi\) 가 있다고 했을 때, 허수부분의 부호만 반대인 복소수를 의미한다.

 

복소수 :  \( z= a +bi\)

켤레복소수 :  \( z= a -bi\)

 

3. 제곱근 계산시 주의할 점

 

임의의 두 실수 a,b가 양수일 때

\(\sqrt{a}>0, ~\sqrt{b}>0 \) 면

 

\(\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}, ~~\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\) 이 성립한다.

 

그런데 복소수로 수의 범위를 확장하면 루트안에 음수도 들어갈 수 있기 때문에 a와 b가 음수일 때 표기에 있어서 주의할 점이 생긴다. 

 

\( a < 0, b < 0\) 일 경우

\( |a| = \alpha, |b| = \beta  \)라고 하자 그럼

 

\(\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{\alpha}i\sqrt{\beta}i  = -\sqrt{ab} ~~ \because   i^2 = -1, ab = \alpha\beta\)

 

\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{\alpha}i}{\sqrt{\beta}i} = \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} = \sqrt{\frac{a}{b}} ~~ \because ab = \alpha\beta\)

 

둘다 음수인 경우 곱은 -가 생기지만 나눗셈은 i가 약분되어 사라짐에 주의해야 한다.

그런데 둘다 음수인 경우보다 둘 중에 하나만 음수인 경우 또한 주의해야 한다. 특히 분모가 음수인 경우와 분모가 양수인 경우에도 결과가 다름에 주의하자.

 

\( ab < 0,~ |a| = \alpha, |b| = \beta \) 일때, 

 

\(\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{\alpha\beta}i\) 그런데 \(ab = -\alpha\beta\) 이므로

 

\(\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{\alpha\beta}i = \sqrt{ab} \)

 

분수의 경우 분자가 양수, 분모가 음수 일 때

 

\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac {\sqrt{a}}   {\sqrt{\beta}i  } \) 분자 분모에 \(i\)를 곱하면

 

\( \frac {\sqrt{a}i}   {-\sqrt{\beta}  } \) 그런데 여기서 분자가 양수 였으므로 

 

\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = - \sqrt{\frac{a}{b}} \)

 

반대로 분자가 음수, 분모가 양수 일 때 

 

\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac {\sqrt{\alpha}i}   {\sqrt{b} } = \sqrt{\frac{\alpha}{b}}i  \)

 

그런데 여기서 분모가 양수 이고 \( \sqrt{a} = \sqrt{\alpha}i \) 이므로

 

\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{\alpha}{b}}i = \sqrt{\frac{a}{b}} \)