유리식 - 가비의 리, 부분분수 ((ch10))

1. 정의

 

유리식 ⊃ { 다항식, 분수식 }

 

다항식 : $\frac{A}{B}$ 꼴에서 분모가 상수인 유리식은 다항식

분수식 : $\frac{A}{B}$ 꼴에서 분모가 1차 이상의 다항식은 분수식

 

2. 부분분수

 

공식 : $\frac{1}{B-A}\ast \left ( \frac{1}{A} - \frac{1}{B}\right  ) = \frac{1}{A\ast B}$

 

두 분수식의 뺄셈을 공통분모로 통분하면 합치는 것은 간단함

부분분수는 한 분수식을 두 개의 분수식으로 분리하는 것이 핵심.

 

고등학교 시절은 시간단축을 위해 공식을 외우고 풀이를 했지만 다시 복습하면서

공통분모로 통분하여 빼는 과정에서 생기는 분자를 나눠 1로 만드는 과정을 생각하면

너무나 당연한 과정임을 알 수 있었음.

 

잘 안보인다 싶으면 분자를 따로 빼서 부분분수 공식을 사용하고 다시 곱해줘도 됨

ex) $\frac{something}{A\ast B}$ ☞ $something\ast \frac{1}{A\ast B}$ ☞ $something\ast \frac{1}{B-A}\ast \left ( \frac{1}{A} - \frac{1}{B}\right  )$

 

3. 가비의 리 (비례식 연산)

 

들어가기 전에 비례식을 살짝 짚고 넘어가면

 

a : b = c : d 일때

ab = cd, a = bk, c = dk

 

가비의 리

 

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}$ 일 때

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a+c+e}{b+d+f} = \frac{pa+qc+re}{pb+qd+rf},~ (b+d+f \neq 0~and~pb+qd+rf \neq 0)$

 

증명

 

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} =k$라고 하면

$a = bk,~ c=dk, ~ e=fk$이므로

 

$a+c+e = (b+d+f)k~\therefore~k=\frac{a+c+e}{b+d+f},~(b+d+f \neq 0)$ 

 

$\therefore~ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f},~(b+d+f \neq 0)$

 

$\therefore~ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}=\frac{pa}{pb} = \frac{qc}{qd} = \frac{re}{rf} =\frac{pa+qc+re}{pb+qd+rf},~ (pb+qd+rf \neq 0)$

 

다시 공부하던 내용중 내가 잊었던 부분이었음.

과거 수학선생님들이 증명과정이 중요하다고 한적 있었는데

그냥 외워서 풀면 빠른데 왜 굳이? 라는 생각을 가지고 문제를 풀었었음.

 

증명과정을 내가 직접 해보니 공식이라기 보다는 위 부분 분수처럼 "당연하다." 라는 걸 느꼇고

앞으로 까먹을 일은 없을 듯함.

 

진짜 공부를 한 느낌이라 좋음.