n차 방정식 ch(13) : 고등학생 시절 반성문

1. 정의

 

\( 2x + 4x = 6x \) 처럼 어떤 x값에도 항상 성립하는 등식은 항등식

\(2x + 4x = 6\) 처럼 x = 1 같은 특정한 값에만 성립하는 등식을 방정식이라고 한다.

 

식에서 \(ax + by = cz \) 같이 여러개의 문자가 섞여 있을 경우도 있으므로

특정 "문자"에 관한 방정식  이라는 표현을 사용하여 미지수를 정한다. ex) x에 관한 방정식, a에 관한 방정식

또한 미지수의 차수에 따라 방정식을 n차 방정식이라 부른다.

 

방정식의 경우 특정한 값을 "근", 또는 "해"라고 부르며 이 값을 찾는 것을 "방정식을 푼다." 라고 한다.

 

2. 해를 찾는 방법

 

대학 시절 미분적분학 때 기억이 잘 안나는데

고등학교 수준에서는 해를 찾는 방법을

 

   1) 인수분해를 이용해서 찾기

   2) 근의 공식을 이용해서 찾기

 

로 알려주고 있다.

 

사실 문제의 8할 이상이 2차식이고 고차식의 경우도 인수분해나 치환을 통해 2차식으로 전환해서 푸는 경우가 대부분이다.

 

인수분해는 감각과 경험의 영역이므로 여기서는 생략하고 근의 공식만 잡고 넘어가고자 한다.

출처 : 나무위키 (방정식)

인터넷에 검색만 하면 수십개가 뜨는 걸 굳이 또 내 블로그에 정리하고 싶지는 않아서 이미지로 대체한다.

-사실 내 블로그 모든 글이 검색하면 수십개 나오긴 하지만

 

사실 위 전개식은 정석에도 나와있었는데, 28살이 된 지금 처음 본다.

고등학생 시절, 증명은 괜히 어려울 것 같아서 막상 처다보지도 않고 도망쳤던 것이다.

 

정작 너무나 당연한 내용들이고 크게 이해하기 어렵지 않은 내용인데, 그 당시에도 충분히 이해 가능한 내용인데,,

당장 내 눈앞에 있는 문제는 근의 공식을 외워서 대입하면 풀리니 계속 편한 길을 찾았나보다.

 

그게 지금껏 방황한 내 미래에 영향을 조금이라도 주지 않았나 반성하며 생각해본다.

항상 그런식으로 눈 앞의 중간고사,기말고사,모의고사 잘 봤다고 "나는 수학을 잘해" 라고 생각해 왔으니 얼마나 오만한가

 

그래서 반성의 의미로 내가 의미있게 풀었던 문제를 리뷰하며 글을 마무리하고자 한다.

 

3. 반성의 문제

 

  \( x^4 + 2x^2 + 9 = 0 \)

 

1) 해설풀이

 

\( x^4 + 6x^2 + 9 - 4x^2 = 0 \)

\( (x^2+3)^2 - (2x)^2 = 0 \)

\( (x^2+3+2x)(x^2+3-2x) = 0\)

\( \therefore x^2+2x+3=0 , x^2-2x+3=0 \)

\( \therefore x = -1~\pm\sqrt{2}i, 1~\pm\sqrt{2}i \)

 

2) 나의 풀이

 

본 풀이에서는 인수분해를 이용해서 풀었지만, 근의 공식을 이용해서 강제로 풀어보았다.

이유는

(1) 인수분해가 잘 안보이는 경우 혹은 안되는 경우도 존재

(2) 논리적으로 근의공식을 써도 풀려야 하기 때문

 

\(x^2 = A로~치환, \therefore A^2 + 2A + 9 = 0\)

근의 공식을 사용하면,

 

\(A = -1 \pm2\sqrt{2}i \)

\( x^2 = -1 \pm2\sqrt{2}i\)

\(x = \pm\sqrt{-1 \pm2\sqrt{-2}}, \because i^2 = -1 \) 

 

전에 이중근호로 루트를 벗기는 방법을 이용한다.

 

\( \sqrt{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 } = \sqrt{a+b + 2\sqrt{ab}}\)

\( \sqrt{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 } = \sqrt{a+b - 2\sqrt{ab}}\)

이를 위 문제에 대입하면

 

\(a+b = -1, ab = -2, \therefore (a,b) = (1,-2) or (-2,1) 가 나온다.\)

\(\therefore x = \pm (1 + \sqrt{2}i) ~or \pm (1 - \sqrt{2}i)~ or \pm (\sqrt{2}i -1) \) 에서 중복된 거를 제거하고 정리하면

 

 

\( \therefore x = -1~\pm\sqrt{2}i, 1~\pm\sqrt{2}i ~를 구할 수 있다.\)

 

4. 마치며

 

  어려워 보인다고 도망치지 말고 첫 문장, 첫 음절 부터 심호흡하고 천천히 읽어보자.

내가 혼자 만든 공포감과 낯설음에 내 능력을 스스로 숨길 필요 없다.

화이팅하자. 막상 해보면 별거 아닐 수도 있다. 아님말고