연습문제 (19/20)
알아가야할 내용
1. 유리근 정리
다항방정식 \(a_{1}x^n+a_{2}x^{n−1}+⋯+a_{n−1}x+C=0 (C는 상수)\) 를 만족하는 근의 집합중
하나를 최고 차항인 \(a_{1}\) 의 약수와 상수항의 약수를 통해서 찾을 수 있다는 정리 (반드시 존재 X)
$$\pm \dfrac{d_{\sf const} | {\sf const}}{d_{a_1} | a_1}$$
2. 증명
근을 \( \dfrac{q}{p}\) 라고 가정할 때 (q와 p는 각각 서로소)
위 다항방정식에 근을 대입하고 \(p^n\)을 각 항에 곱하면
\(a_{1}q^np^0+a_{2}q^{n−1}p^1+⋯+a_{n−1}qp^{n-1}+Cp^n=0 (C는 상수)\)
여기서 \(Cp^n\)를 우변으로 넘기면
\(a_{1}q^np^0+a_{2}q^{n−1}p^1+⋯+a_{n−1}qp^{n-1}= -Cp^n (C는 상수)\)
이때 좌변을 q로 묶는 것이 가능하다. 그럼 근의 분자인 q는 C의 약수관계임을 알 수 있다.
반면
\(a_{1}q^np^0+a_{2}q^{n−1}p^1+⋯+a_{n−1}qp^{n-1}+Cp^n=0 (C는 상수)\)
여기서 \(a_{1}q^np^0\)를 우변으로 넘기면
\(a_{2}q^{n−1}p^1+⋯+a_{n−1}qp^{n-1}+Cp^n= - a_{1}q^np^0+ (C는 상수)\)
\(p^0\)은 1이니 생략하고 좌변을 p로 묶는 것이 가능하다. 그럼 마찬가지로 근의 분모 p는 최고차항의 계수인 \(a_{1}\)와 약수관계임을 알 수 있다.
...
- (고등학교 수학은 필자가 고등학생 시절 놓쳤었던 부분 위주로 올릴예정)
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