나머지 정리 (ch8)

 

연습문제 (19/20)

 

알아가야할 내용

 

1. 유리근 정리

 

  다항방정식 \(a_{1}​x^n+a_{2​}x^{n−1}+⋯+a_{n−1​}x+C=0  (C는 상수)\) 를 만족하는 근의 집합중

하나를 최고 차항인 \(a_{1}\) 의 약수와 상수항의 약수를 통해서 찾을 수 있다는 정리 (반드시 존재 X)

$$\pm \dfrac{d_{\sf const} | {\sf const}}{d_{a_1} | a_1}$$

 

2. 증명

  근을 \( \dfrac{q}{p}\)  라고 가정할 때 (q와 p는 각각 서로소)

위 다항방정식에 근을 대입하고 \(p^n\)을 각 항에 곱하면

\(a_{1}​q^np^0+a_{2​}q^{n−1}p^1+⋯+a_{n−1​}qp^{n-1}+Cp^n=0  (C는 상수)\)

여기서 \(Cp^n\)를 우변으로 넘기면

\(a_{1}​q^np^0+a_{2​}q^{n−1}p^1+⋯+a_{n−1​}qp^{n-1}= -Cp^n  (C는 상수)\)

이때 좌변을 q로 묶는 것이 가능하다. 그럼 근의 분자인 q는 C의 약수관계임을 알 수 있다.

 

반면

\(a_{1}​q^np^0+a_{2​}q^{n−1}p^1+⋯+a_{n−1​}qp^{n-1}+Cp^n=0  (C는 상수)\)

여기서 \(a_{1}​q^np^0\)를 우변으로 넘기면

\(a_{2​}q^{n−1}p^1+⋯+a_{n−1​}qp^{n-1}+Cp^n= - a_{1}​q^np^0+  (C는 상수)\)

\(p^0\)은 1이니 생략하고 좌변을 p로 묶는 것이 가능하다. 그럼 마찬가지로 근의 분모 p는 최고차항의 계수인 \(a_{1}\)와 약수관계임을 알 수 있다.

 

 

...

 - (고등학교 수학은 필자가 고등학생 시절 놓쳤었던 부분 위주로 올릴예정)